História do teorema fundamental da álgebra

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Peter Rothe, no seu livro Arithmetica Philosophica (publicado in 1608), escreveu que uma equação polinomial de grau n (com coficientes reais) pode ter n soluções. Albert Girard, no seu livro L'invention nouvelle en l'Algèbre (publicado in 1629), afirmou que uma equação polinomial de grau n tem n soluções, mas não disse que tais soluções eram necessariamente números complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que a equação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum coeficiente é igual a 0. No entanto, quando ele explica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de facto, ele acredita que a afirmação dele é válida em todos os casos; por exemplo, ele mostra que a equação x4 = 4x − 3, embora incompleta, tem quatro soluções: .

Em 1637, Descartes escreve em La géométrie o que anos antes Harriot havia descoberto - se é raiz de um polinómio, então divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n, podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.

Uma consequência do teorema fundamental da Álgebra é que qualquer polinómio com coeficientes reais e grau superior a 0 pode ser escrito como produto de polinómios com coeficientes reais de graus 1 ou 2. No entanto, em 1702 Leibniz afirmou que nenhum polinómio do tipo (com real e não nulo) pode ser obtido sob aquela forma. Anos mais tarde, Nicolaus II Bernoulli (1695-1726) afirmou o mesmo relativamente ao polinómio , mas recebeu uma carta de Euler em 1742 na qual lhe foi explicado que o seu polinômio era de fato igual a

, sendo α a raiz quadrada de , enquanto que

. Uma primeira tentativa de demonstrar o teorema foi levada a cabo por d'Alembert em 1746, mas na altura a demonstração foi considerada incorrecta. Entre outros problemas, usava implicitamente um teorema (actualmente designado por teorema de Puiseux) que só viria a ser demonstrado um século mais tarde e cuja demonstração se pensava depender do teorema fundamental da álgebra. No entanto, hoje em dia há quem defenda que a demonstração de d'Alembert foi mal compreendida, e que de facto não depende do teorema fundamental da álgebra ou seja, não é circular.

Outras tentativas foram levadas a cabo por Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) e Laplace (1795). Estas últimas quatro tentativas recorreram à tese de Argand; mais precisamente, a existências de raízes era dada como certa e o que faltava provar era que eram da forma para números reais a e b. Em terminologia moderna, Euler, de Foncenex, Lagrange e Laplace estavam a supor a existência de um corpo de decomposição do polinômio .

No fim do século XVIII foram publicadas duas novas demonstrações que não supunham a existência de raízes. Uma delas, da autoria de James Wood e sobretudo algébrica, foi publicada em 1798 e completamente ignorada. A demonstração de Wood tinha uma falha de natureza algébrica. A outra demonstração foi publicada por Gauss em 1799 e era sobretudo geométrica, mas tinha uma falha topológica. Uma demonstraçao rigorosa foi publicada por Argand em 1806; foi aqui que, pela primeira vez, o teorema fundamental da Álgebra foi enunciado para polinómios com coeficientes complexos e não apenas para polinómios com coeficientes reais. Gauss publicou mais duas demonstrações em 1816 e uma nova versão da primeira demonstração em 1849.

O primeiro manual universitário a conter uma demonstração do teorema foi o Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, de Cauchy (1821). A demonstração em questão é a de Argand, embora este não seja mencionado.

Nenhuma das demonstrações até agora mencionadas é construtiva. Foi Weierstrass quem levantou pela primeira vez, em 1891, o problema de encontrar uma demonstração construtiva do teorema. Tal demonstração foi obtida por Hellmuth Kneser em 1940 e simplificada pelo seu filho Martin Kneser em 1981.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_da_%C3%81lgebra