Teorema da incompletude de Gödel
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O teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois resultados demonstrados por Kurt Gödel:
Teorema 1: "Qualquer teoria axiomática recursivamente enumerável e capaz de expressar algumas verdades básicas de aritmética não pode ser, ao mesmo tempo, completa e consistente. Ou seja, sempre há em uma teoria consistente proposições verdadeiras que nao podem ser demonstradas ou negadas." Teorema 2: "Uma teoria, recursivamente enumerável e capaz de expressar verdades básicas da aritmética e algumas verdades de probabilidade formal, pode provar sua própria consistência se, e somente se, for inconsistente." O primeiro teorema garante a existência das chamadas proposições indecidíveis, ou seja, que nao podem ser provadas verdadeiras ou falsas em um dado sistema axiomático (e.g. a Hipótese do Continuum é indecidível no sistema ZFC). O segundo teorema impõe uma restrição a qualquer sistema axiomático: não é possível ser consistente e provar sua própria consistência, o que não impede que essa consistência seja provada por outro sistema (e.g. a consistência dos Axiomas de Peano da Aritmética podem ser provados através dos axiomas ZFC).
Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.
O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto a proposta de Hilbert de reduzir a Matématica a um conjunto finito de axiomas completo e consistente (segundo problema de Hilbert) não podia ser possível.
